Em Matérias de Nível Médio, iremos falar de PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)
Uma progressão aritmética a famosa P.A, é algo que sempre está nos pesadelos dos alunos.
Mas muita calma, meu caro, pois não é algo nada assustador, basta apenas um pequeno entendimento.
Uma P.A. consiste em uma sequência numérica com uma ordem de grandeza lógica, assim a variação de uma progressão de números consistirá numa sequência de números proporcionais.
Em outras palavras uma sequência de números do tipo:
2, 6, 10, 14, 18...
segue uma sequência lógica de crescimento, que no exemplo acima é de fácil percepção que este crescimento dá se num intervalo de 4, ou seja, uma P.A. é algo que vemos desde criança, muitas vezes em forma de brincadeira mas que obviamente não temos este conhecimento ainda.
Numa P.A. o termo central é a média aritmética, isto a partir do segundo termo, do termo antecessor pelo sucessor. Como no exemplo acima. Se fizermos a média de 2 e 10, verificamos que o resultado é 6, ou seja, o termo divisor entre os dois.
Bom, agora vamos para as definições matemáticas e especificações da P.A.
- Razão de uma P.A (r)
Este crescimento linear que ocorre nesta sequência numérica, recebe um nome especifico, conhecido nas melhores casas do ramo como Razão, que em outras palavras, seria a diferença que existe de um número para outro.
A razão é definida pela letra r. No exemplo acima, nossa razão é igual a 4.
1, 3 , 5, 7, 9.... ( a razão neste exemplo é de 2)
2, 7, 12, 17... (razão igual a 5)
ou seja, o melhor método de se descobrir a razão de uma P.A. é fazer a diferença de um termo por seu antecessor:
r = an - (an-1)
A verificação da existência de uma razão é o que define uma P.A.
- Classificação de uma P.A
Crescente - uma P.A. é crescente quando r >0 e, cada termo a partir do segundo é um termo maior do que seu antecessor, assim nossos exemplos anteriores podem ser definidos como uma, progressão aritmética crescente.
Decrescente - uma P.A é decrescente quando r<0 e, e cada termo a partir do segundo é menor que seu antecessor, segue o exemplo:
10, 7, 4, 1, -2 ....
Percebe-se que a razão existente nesta progressão é uma razão negativa, r = -3, assim é uma P.A. decrescente.
Constante - uma P.A constante é uma P.A na qual não existe uma razão, ou seja, r = 0, deste modo, pode verificar no exemplo:
5, 5, 5, 5, 5 .....
8, 8, 8, 8, 8.....
que é uma progressão constante, definido por uma razão nula.
De Segunda Ordem - é uma P.A mais complexa, pois a variação dos termos segue uma P.A, ou seja, sua lógica é um pouco mais elaborada, como:
1, 3, 7, 13, 21, 31, 43....
Consegue definir esta sequência?!
Pois é, a razão existente entre os termos é uma P.A, verifique que, o primeiro termo para o segundo a diferença é de 2, do segundo para o terceiro de 4, do terceiro para o quarto verificamos que a diferença passa a ser 6, ou seja, por esta análise, conclui-se que a progressão segue uma razão lógica, onde a diferença de um termo para o próximo varia de uma razão igual 2, assim sendo, a variação consiste em 2, 4, 6, 8 e assim por diante.
Com o estudo de P.A. de ordens superiores chega-se a introdução do cálculo de integrais de funções polinomiais.
- Termo Geral de uma P.A.
an = a1 + ( n - 1) * r
Assim, caso queira conhecer o enésimo termo de uma P.A. basta sabe seu primeiro termo dado por a1, o número de termos até an dado por n e a razão, deste modo segue no exemplo que se, caso queiramos conhecer o 20º termo da progressão, basta aplicarmos esta fórmula:
1, 4, 7, 10, 13 ...
an = 1 + ( 20 - 1) *3 = 58
- Soma de Termos de uma P.A. finita
Para somarmos os termos de uma série finita em uma progressão dado um intervalo conhecido de ap até aq, poder-ei-mos aplicar a seguinte fórmula, a qual define a somatória de elementos de uma P.A.:
Sn = n * (a1 + an)/ 2
Também pode-se aplicar na fórmula a ideia de intervalo, assim:
S(p,q) = (q-p-1) * (aq + ap) / 2
Definido no intervalo fechado (p,q).
Curiosidade:
Diz a lenda que o grande matemático Carl Friedrich Gauss [veja artigo principal] em seus primórdios de vida, aos dez anos de idade, em uma atividade escolar feita por seu diretor, na qual consistia encontrar a soma dos números de 1 a 100, concluiu o exercício em poucos minutos, utilizando do princípio de P.A, fascinado com feito, o diretor começou a incentivá-lo nos estudos matemáticos, ali deu-se o pontapé para o grandes feitos deste grande matemático.
Referências:
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