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Aqui faremos uma pequena introdução a este extenso conteúdo que é a trigonometria, se liguem nos próximos posts do Mundo de Beakman que podem ser um complemento deste.

TRIGONOMETRIA

O QUE É?

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. [1]

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nasciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.[2]

HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA

Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos (habitantes da antiga Mesopotâmia, hoje Iraque) e egípcios , sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco ficou conhecido como pai da Trigonometria, por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas. [1]

Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.[1]

SOBRE TRIGONOMETRIA [2]

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ânguloscorrespondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo $A$ são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a $A$ e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de $A$ . Este número é chamado de seno de A e é escrito como $\operatorname{sen}(A)$ . Similarmente, pode-se definir :

o cosseno (ou co-seno) de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento da hipotenusa
a tangente trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto adjacente
a co-tangente de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
a secante trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ - é o inverso do cosseno
a co-secante de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ - é o inverso do seno.

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Estudos relacionados à Trigonometria.

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com intervalo de [0, 2π], a cada ponto da circunferência associamos um número real. No ciclo trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical (seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro. [5]

É uma ferramente de auxílio para o estudo de triângulo retângulo, com seu apoio, torna-se possível definir os ângulos internos do triângulo, que como conhecido, somados devem totalizar 90º ou π/2. As proporções dos três lados do triângulo retângulo são definidas como já ditas de seno, cosseno, tangente e cotagente, dependendo do lado a ser considerado na proporção.
Ficheiro:Circulo Trigonometrico tangente.png

Ficheiro:Circulo Trigonometrico tangente.png

SENO

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical, ou seja, no eixo x (abscissas).

Seno é definido como, dado um ângulo conhecido em um triângulo retângulo, o cateto oposto, onde também pode se dizer a aresta oposta, onde os extremos do ângulo considerado não alcançam, a razão deste cateto sobre a hipotenusa (o cateto oposto ao ângulo reto) é igual ao valor do seno do ângulo.

sen = cateto oposto

hipotenusa

COSSENO

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal, sendo assim no eixo y (ordenadas).

Cosseno é definido como, dado um ângulo conhecido em um triângulo retângulo é, a proporção do cateto adjascente, agora é cateto onde os extremos do ângulo são limitados (ou toca) pela hipotenusa.

cos = cateto adjascente

hipotenusa

TANGENTE

Em um círculo trigonométrico, a tagente pode ser visualizada como sendo a reta que tangência o círculo, em outras palavras, passando uma reta paralela ao eixo das ordenadas em um ponto equidistante ao centro do círculo de comprimento do seu raio, isto é definido como tangente.

Em trigonometria, a tangente é definida como sendo a proporção do cateto oposto a um ângulo qualquer por seu cateto adjscente, ou seja, podemos defini-lo como a razão do seno pelo cosseno.

tang = cateto oposto = seno

hipotenusa cosseno

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras, é um dos teoremas, senão o mais, conhecido da matemática, aqui vamos definir de forma grosseira este teorema, um dos mais utilizados em trigonometria.

É definido como, “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.

Ou seja, dado este seguinte triângulo, onde a hipotenusa tem valo de a e os catetos b,c (letras minúsculas no desenho), o Teorema de Pitágoras ficaria da seguinte maneira

a² = b² + c²

Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2. [2]

Por fim, citaremos algumas identidades trigonométricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

Fórmula fundamental da trigonometria

sen²A + cos² A = 1
tan²A + 1 = sec²A
1 + cot²A = cosec² A

Soma ou Subtração

sen (A+B) = senAcosB + senBcosA
cos (A+B) = senAsenB + cosAcosB
tang (A+B) = (tangA+tangB)/(1+tangAtanB)
cot (A+B) = (cotAcotB+1)/ (cotB+cotA)

Fórmula da Duplicação do Ângulo

sen(2A) = 2senAcosA
cos(2A) = cos²A – sen²A = 2cos²A-1
cos(2A) = 1-2sen²A = (1-tan²A)/(1+tan²A)
tan(2A)=(2tanA)/(1-tan²A) = (2cotA)/(cot²A-1) = 2/(cotA-tanA)

Fórmula da Divisão de Ângulos

$\begin{align}<br />\operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1-\cos A}{2}} \\<br />\cos \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}<br />\end{align}$

LEI DOS SENOS

$\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{\operatorname{sen} B}{b} = \frac{\operatorname{sen} C}{c},$
Ou
$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R$